什麼是傅里葉變換？

可能您在数学或工程课程中听过傅立叶变换这个词。它似乎带有一种敬畏和魅力。傅立叶变换是在信号处理、图像分析和数据压缩领域广泛应用的数学方法。但是，傅立叶变换是什么呢？它为什么存在于各个领域？让我们一起揭开这些谜团。

Table of contents

傅立叶变换 – 现代数据分析的基石
解读傅立叶变换的数学
1. 2.1 傅立叶级数与傅立叶变换
傅立叶变换的应用
常见问题（FAQ）
结论

傅立叶变换 – 现代数据分析的基石

1.1 什么是傅立叶变换？

简单地说，傅立叶变换是一种数学方法，用于在时间（或空间）域和频率域之间进行信号转换。它以法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅立叶的名字命名。乍一看，它似乎包含了大量的信息，但随着进一步的学习，我们将深入探讨这个迷人的概念。

音乐曲目由各种音符组合而成。每个音符产生不同高度和时长的声音。这可以被视为用“时间域”表示音乐。

另一方面，我们也可以通过观察音乐的“频率域”来了解音乐具有的“频率”，即每个音符包含多少音量。这可以被视为用“频率域”表示音乐。

傅立叶变换就是在这两者之间进行转换的过程。想象一下，你需要从朋友的家（时间域）去到公园（频率域）。通过移动，你可以从朋友的家到达公园。这类似于从时间域“移动”到频率域。

此外，如果你在公园玩耍后想回到朋友的家，你会怎么做呢？你还需要一份回到朋友的家的路线指南。如果有从公园返回朋友的家的路线指南，你就可以回去了。这类似于从频率域“移动”到时间域。连接这两个域的方式，也就是从时间域到频率域和从频率域到时间域的指南，就是“傅立叶变换”。所以，傅立叶变换可以被看作是在时间域的信息（例如音乐曲目）和频率域的信息（音乐中每个音的分布）之间进行相互转换的工具。

了解频率域的信息的目的是了解不同音高音符的数量（频率域）有多少，以便理解音乐中每个音的数量。一旦了解了这些，你就可以了解音乐曲目是明快的、阴暗的、充满活力的还是平静的等整体特征。

此外，音乐专业人员使用这些频率信息来混音或调整音乐。例如，音乐制作人会调整各个音符（频率）的音量，以使歌曲和乐器的声音平衡。为了做到这一点，需要知道每个音（频率）包含多少。

正因为如此，频率信息是制作和理解音乐的重要工具。这就是为什么傅立叶变换被应用于这些领域的原因。

1.2 起源和历史重要性

傅立叶变换的起源可以追溯到19世纪初。

傅立叶研究的是一种现象，即物质的一部分变暖后，热量（热能）会逐渐传播到其他部分（这被称为“热传导”）。然而，当时还没有确切的数学方法来解释热量是如何传播的。

因此，他提出了一种用于理解热传导的新方法。他建议将热传导表示为正弦波（即波动波）的总和，以描述热量传播随时间的变化方式。这就是“傅立叶级数”的起源。

傅立叶级数是一种想法，即任何形状的波形都可以用简单的正弦波（即波动波）的总和来表示。这在当时的人们普遍理解的“波”形状方面颠覆了一般的理解。

此外，傅立叶的理论在数学上也非常复杂，它使用无限多个连续的正弦波来表示波形，这使得它很难被完全理解，并且很难评估其正确性。因此，傅立叶的新理论起初遭到了很大的反对，但真理总是胜利的，傅立叶的概念得到了接受。这成为后来傅立叶变换发展的基础，成为数学和物理领域里的里程碑。

1.3 傅立叶变换的发展与现实世界的应用

傅立叶的新思想不仅仅停留在那里。傅立叶证明了不仅可以使用正弦波，还可以使用更复杂的波形来实现相同的效果。这意味着可以使用一系列具有不同频率的波形来表示随时间变化的任意信号。

通过使用这种方法，我们可以将时间域（即随时间变化的信号）转换为频率域（即该信号包含的波形的频率和强度）。这就是“傅立叶变换”的起源。

另外，从频率域到时间域的逆转换也成为可能。这被称为“逆傅立叶变换”。换句话说，通过傅立叶变换和逆傅立叶变换，我们可以自由地在时间域和频率域之间进行转换。

这些发现在工程学、物理学、数学、图像处理、声学等许多领域的问题解决中起着重要作用。

从图像处理到音频压缩，傅立叶变换在各种现实世界的应用中都是不可或缺的。将复杂的数据分解为更简单和易于理解的块，使之在各个领域都非常有价值。

解读傅立叶变换的数学

2.1 傅立叶级数与傅立叶变换

傅立叶级数是将波形等函数表示为简单的正弦波组合的方法。另一方面，傅立叶变换处理非周期函数，并提供振幅谱。

“振幅谱”是指音频或信号等具有的每个频率成分的振幅（即大小或强度）。音频或信号由几个不同频率的波形组合而成，振幅谱显示了每个频率波形的强度。

例如，在音乐领域中，振幅谱决定了声音的“音色”或“色彩”。如果高频振幅较大，则声音会被感知为“明亮”或“尖锐”。相反，如果低频振幅较大，则声音会被感知为“低沉”或“柔和”。

通过使用傅立叶变换，可以从时间域信号（例如音乐录音）计算出这些振幅谱。换句话说，傅立叶变换可以将时间域信号转换为频率域，并将其结果表示为振幅谱。

2.2 理解傅立叶变换的数学

傅立叶变换的核心是傅立叶积分，它接受一个时间函数 f(t) 并将其转换为一个频率函数 F(f)。起初，这可能很难理解，但就像随着时间的推移葡萄酒变得更好一样，它会变得更加清晰。以下是一个易于理解的视频。

傅立叶变换的应用

3.1 信号处理中的傅立叶变换

信号处理是傅立叶变换发挥作用的领域。它广泛应用于信号分析、滤波和数据压缩。数学如何使我们的音乐听起来更好，这真是令人难以置信的。

3.2 图像分析和傅立叶变换

傅立叶变换革新了图像分析领域，使我们能够对图像进行滤波、模糊和边缘检测等操作。

图像分析中傅立叶变换的应用非常广泛，其中主要应用包括图像滤波、压缩和边缘检测等。

图像滤波：傅立叶变换可用于从图像中去除特定频率成分。例如，通过去除高频成分（细节和噪声等），可以实现图像模糊效果（平滑）。相反，通过去除低频成分（大型结构和形状等），可以强调图像的边缘。这些处理通过将图像转换到频率域，调整特定的频率成分，然后再次转换回时间（空间）域来完成。
图像压缩：傅立叶变换也用作减少图像数据量的方法。在图像压缩算法（如JPEG）中，使用了一种傅立叶变换的离散形式，即离散余弦变换（DCT）。通过将图像转换到频率域，并删除对人眼不重要的高频成分，可以减少数据量。
边缘检测：傅立叶变换也有助于检测图像的边缘（边界线）。这是因为边缘区域包含较多的高频成分。通过在频率域中突出显示高频成分，并将其转换回时间（空间）域，可以使边缘区域更清晰。

从这些应用示例中可以看出，傅立叶变换在图像分析中是非常重要的工具。